Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Sách bài tập Toán 10 - Đại số 10 nâng cao - Chương III - Bài 2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: LTTK CTV
    Đăng lúc: 7/10/18
    Câu 3.9 trang 59 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm các giá trị của p để phương trình sau vô nghiệm
    \(\left( {4{p^2} - 2} \right)x = 1 + 2p - x\)
    Giải:
    \(p = \frac{1}{2}.\)

    Câu 3.10 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm các giá trị của q để mỗi phương trình sau có vô số nghiệm:
    a. \(2qx – 1 = x + q\)
    b. \({q^2}x - q = 25x - 5\)
    Giải:
    a. \(2qx - 1 = x + q \Leftrightarrow \left( {2q - 1} \right)x = q + 1.\)
    phương trình đã cho có vô số nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{q + 1 = 0}\\{2q - 1 = 0}\end{array}} \right.\)
    không có số q nào thỏa mãn điều kiện này.
    b. q = 5.

    Câu 3.11 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau chỉ có một nghiệm :
    a. \(\left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)
    b. \(m\left( {m - 1} \right)x = {m^2} - 1\)
    Giải:
    a. \(\left( {{\rm{x}} - m} \right)\left( {{\rm{x}} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} - m = 0\) hoặc \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = m\) hoặc \(x = 1\)
    Vậy phương trình chỉ có một nghiệm khi m = 1.
    b. m ≠ 0 và m ≠ 1.

    Câu 3.12 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
    a. \(2mx = 2x + m + 4\)
    b. \(m\left( {x + m} \right) = x + 1\)
    Giải:
    a. Ta có :
    \(2mx = 2x + m + 4 ⇔ 2(m – 1)x = m + 4 \,\,\,\,\,\,\, (1)\)
    - Với \(m – 1 ≠ 0\) hay \(m ≠ 1\), chia hai vế của (1) cho \(2(m – 1)\) ta được \(x = \frac{{m + 4}}{{2\left( {m - 1} \right)}}.\)
    - Với \(m – 1 = 0\) hay m = 1, phương trình (1) trở thành \(0.x = 5\), vô nghiệm.
    b. Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -(m + 1)\) khi \(m ≠ 1\), nghiệm đúng với mọi x khi m = 1.

    Câu 3.13 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Với mỗi phương trình sau, biết một nghiệm, hãy tìm tham số m và nghiệm còn lại:
    a. \(\left( {2{m^2} - 7m + 5} \right){x^2} + 3mx - \left( {5{m^2} - 2m + 8} \right) = 0\) có một nghiệm là 2.
    b. \(\left( {5{m^2} + 2m - 4} \right){x^2} - 2mx - \left( {2{m^2} - m + 4} \right) = 0\) có một nghiệm là -1.
    Giải:
    a. Do x = 2 là nghiệm nên thay vào phương trình ta được:
    \(4\left( {2{m^2} - 7m + 5} \right) + 6m - \left( {5{m^2} - 2m + 8} \right) = 0\) hay \(3{m^2} - 20m + 12 = 0\)
    Giải phương trình trên (ẩn là m) ta có kết quả \(m \in \left\{ {6;\dfrac{2}{3}} \right\}\)
    Với m = 6, phương trình đã cho trở thành
    \(35x^2 + 18x - 176 = 0\)
    Và có hai nghiệm là \({x_1} = 2\) và \({x_2} = - \dfrac{{88}}{{35}}\)
    Với \(m = \dfrac{2}{3},\) phương trình đã cho trở thành
    \(\dfrac{{11}}{9}{x^2} + 2x - \dfrac{{80}}{9} = 0\)
    Và có hai nghiệm là \({x_1} = 2\) và \({x_2} = - \dfrac{{40}}{{11}}.\)
    b. Với m = 1, nghiệm thứ hai là \(\dfrac{5}{3};\) với \(m = - \dfrac{8}{3},\) nghiệm thứ hai là \(\dfrac{{47}}{{59}}.\)

    Câu 3.14 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
    a. \(m{x^2} + 2x + 1 = 0\)
    b. \(2{x^2} - 6x + 3m - 5 = 0\)
    c. \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + \left( {m - 2} \right) = 0\)
    d. \(\left( {{m^2} - 5m - 36} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 1 = 0\)
    Giải:
    a. Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm \(x= - \dfrac{1}{2}\).
    Nếu m ≠ 0 thì phương trình ∆’ = 1 – m
    + Nếu 1 – m < 0 tức là m > 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
    + Nếu 1 – m = 0 tức là m = 1 thì phương trình đã cho có một nghiệm kép x = -1.
    + Nếu 1 – m > 0 tức là m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
    \({x_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {1 - m} }}{m}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - m} }}{m}\)
    Vậy với \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\) thì phương trình có hai nghiệm
    \({x_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {1 - m} }}{m}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - m} }}{m}\)
    Với m = 0, phương trình có nghiệm \(x = - \frac{1}{2}\)
    Với m = 1, phương trình có nghiệm kép x = -1
    Với \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\), phương trình vô nghiệm.
    b. Phương trình có ∆’ = \(9 - 2\left( {3m - 5} \right) = - 6m + 19.\)
    Với \(m \in \left( {\frac{{19}}{6}; + \infty } \right),\) phương trình vô nghiệm.
    Với \(m = \frac{{19}}{6},\) phương trình có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\)
    Với \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{19}}{6}} \right),\) phương trình có hai nghiệm
    \(x = \frac{{3 - \sqrt {19 - 6m} }}{2}\) và \(x = \frac{{3 + \sqrt {19 - 6m} }}{2}\)
    c. Với m = -1, phương trình có nghiệm x = 3.
    Với m ≠ -1, phương trình có \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 8m + 9.\)
    Do đó, với \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{9}{8}} \right),\) phương trình vô nghiệm.
    Với \(m = - \frac{9}{8},\) phương trình có một nghiệm kép x = 5.
    Với \(m \in \left( { - \frac{9}{8};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right),\) phương trình có hai nghiệm
    \(x = \frac{{2m + 1 - \sqrt {8m + 9} }}{{2\left( {m + 1} \right)}}\) và \(x = \frac{{2m + 1 + \sqrt {8m + 9} }}{{2\left( {m + 1} \right)}}\)
    d. \({m^2} - 5m - 36 = 0 \Leftrightarrow m = - 4\) hoặc \(m = 9\)
    Với m = -4, phương trình trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.
    Với m = 9, phương trình trở thành \(-26x + 1 = 0\) nên có nghiệm \(x = \frac{1}{{26}}.\)
    Với \(m \notin \left\{ { - 4;9} \right\},\) ta có
    \(\Delta ' = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 5m - 36} \right) = 13m + 52.\) Từ đó suy ra :
    Với \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right],\) phương trình vô nghiệm.
    Với \(m \in \left( { - 4;9} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right),\) phương trình có hai nghiệm
    \(x = \frac{{m + 4 - \sqrt {13\left( {m + 4} \right)} }}{{{m^2} - 5m - 36}}\) và \(x = \frac{{m + 4 + \sqrt {13\left( {m + 4} \right)} }}{{{m^2} - 5m - 36}}\)
    Với m = 9, phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{{26}}.\)

    Câu 3.15 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có hai nghiệm bằng nhau:
    a. \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1 = 0\)
    b. \(3m{x^2} + \left( {4 - 6m} \right)x + 3\left( {m - 1} \right) = 0\)
    c. \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2\left( {3m - 4} \right)x + 7m - 6 = 0\)
    d. \(\left( {m - 2} \right){x^2} - mx + 2m - 3 = 0\)
    Giải:
    a. \(m \in \left\{ {0;4} \right\}\)
    b. \(m = \frac{4}{3}\)
    c. \(m \in \left\{ { - 2;\frac{1}{2}} \right\}\)
    d. \(m = \frac{{14 \pm 2\sqrt 7 }}{7}\)

    Câu 3.16 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Biện luận số giao điểm của hai parabol sau theo tham số m:
    \(y = {x^2} + mx + 8\) và \(y = {x^2} + x + m\)
    Giải:
    Hoành độ giao điểm của hai parabol là nghiệm của phương trình
    \({x^2} + mx + 8 = {x^2} + x + m.\)
    Phương trình trên tương đương với phương trình \(\left( {1 - m} \right)x = 8 - m\)
    Từ đó suy ra :
    Nếu m = 1 thì hai đồ thị không có điểm chung.
    Nếu m ≠ 1 thì hai đồ thị có một điểm chung.

    Câu 3.17 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Với mỗi phương trình sau, biết một nghiệm, tìm m và nghiệm còn lại:
    a. \({x^2} - mx + 21 = 0\) có một nghiệm là 7 ;
    b. \({x^2} - 9x + m = 0\) có một nghiệm là -3 ;
    c. \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 25x + 32 = 0\) có một nghiệm là 4.
    Giải:
    a. Gọi nghiệm thứ hai là \({x_2}.\) Theo định lí Vi-ét, ta có :
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7 + {x_2} = m}\\{7{x_2} = 21}\end{array}} \right.\)
    Giải hệ trên ta được \({x_2} = 3,m = 10.\)
    b. \({x_2} = 12;m = - 36\)
    c. \({x_2} = \frac{{32}}{{17}};m = \frac{{29}}{4}\)

    Câu 3.18 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 11x + 13 = 0.\)
    Hãy tính:
    a. \(x_1^3 + x_2^3\) ;
    b. \(x_1^4 + x_2^4\) ;
    c. \(x_1^4 - x_2^4\) ;
    d. \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left( {1 - x_2^2} \right) + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left( {1 - x_1^2} \right)\)
    Giải:
    Theo định lí Vi-ét ta có \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}\) (dễ thấy hai nghiệm đều dương). Do đó :
    a. \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
    \(= {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^3} - 3.\frac{{13}}{2}.\frac{{11}}{2} = \frac{{473}}{8}\)
    b. \(x_1^4 + x_2^4 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2 \)
    \(= \frac{{3409}}{{16}}\)
    c. \(x_1^4 - x_2^4 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\)
    Ta có :
    \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)
    \(\Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\)
    Giả sử \({x_1} < {x_2},\) ta có :
    \({x_1} - {x_2} = - \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\) Do đó \(x_1^4 - x_2^4 = - \frac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .\)
    Đối tượng trường hợp \({x_1} > {x_2},\) ta có \(x_1^4 - x_2^4 = \frac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .\)
    d. \( - \dfrac{{269}}{{26}}.\)
    Gợi ý.
    \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left( {1 - x_2^2} \right) + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left( {1 - x_1^2} \right) = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - 2{x_1}{x_2}\)
    \(= \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} - 2{x_1}{x_2}.\)

    Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 2mx + 4 = 0.\)
    Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức :
    \({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) = 3\)
    Giải:
    \(m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\) Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
    \(\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.\)
    Theo định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.\)
    Nên \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}\)
    \(= \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 = \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 8} \right)}^2}}}{{16}} - 2\)
    Ta có: \({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {\left( {4{m^2} - 8} \right)^2} = 80\)
    \(\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5\)
    \( \Rightarrow m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\)
    Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(|m| ≥ 2\).

    Câu 3.20 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm tất cả các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1
    \(2{x^2} - \left( {a + 1} \right)x + a + 3 = 0\)
    Giải:
    \(a \in \left\{ { - 3;9} \right\}.\) Gợi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
    \(\Delta = {\left( {a + 1} \right)^2} - 8\left( {a + 3} \right) \ge 0\)
    \(\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 23 \ge 0.\) (*)
    Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_2} > {x_1}\))
    Theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{{a + 3}}{2}.}\end{array}} \right.\)
    Do \({x_2} - {x_1} = 1\) nên \({\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1,\) suy ra
    \(\dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{4} - 2\left( {a + 3} \right) = 1\)
    \Leftrightarrow {a^2} - 6a - 27 = 0\)
    \(\Leftrightarrow a = 9\) hoặc \(a = - 3\)
    Rõ ràng cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*) vì \({a^2} - 6a - 23 = 4 > 0.\)

    Câu 3.21 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0.\)
    Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a, b và c
    a. \(x_1^2 + x_2^2\) ;
    b. \(x_1^3 + x_2^3\) ;
    c. \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\) ;
    d. \(x_1^2 - 4{x_1}{x_2} + x_2^2\)
    Giải:
    a. \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)
    \(= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 2\dfrac{c}{a} = \dfrac{{{b^2} - 2ac}}{{{a^2}}}.\)
    b. \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
    \(= \dfrac{{3abc - {b^3}}}{{{a^3}}}\)
    c. \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)
    \(= - \dfrac{b}{c}\)
    d. \(x_1^2 - 4{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2}\)
    \(= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{6c}}{a} = \dfrac{{{b^2} - 6ac}}{{{a^2}}}\)

    Câu 3.22 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Tìm tất cả các giá trị dương của k để các nghiệm của phương trình
    \(2{x^2} - \left( {k + 2} \right)x + 7 = {k^2}\)
    Trái dấu nhau và có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau.
    Giải:
    k = 3.
    Gợi ý. Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình.
    Áp dụng định lí Vi-ét và theo yêu cầu bài toán ta có \({x_2} = - \dfrac{1}{{{x_1}}}\) và
    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = {x_1} - \dfrac{1}{{{x_1}}} = \dfrac{{k + 2}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = {x_1}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{x_1}}}} \right) = - 1 = \dfrac{{7 - {k^2}}}{2}.}\end{array}} \right.\)
    Từ \(\dfrac{{7 - {k^2}}}{2} = - 1\) ta có \({k^2} = 9,\) do k > 0 nên k = 3.
    Với k = 3 nghiệm của phương trình là \({x_1} = \dfrac{{5 - \sqrt {41} }}{4},{x_2} = \dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{4}\)

    Câu 3.23 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Hãy tìm tất cả các giá trị của k để phương trình bậc hai
    \(\left( {k + 2} \right){x^2} - 2kx - k = 0\)
    Có hai nghiệm mà sắp xếp trên trục số, chúng đối xứng nhau qua điểm x = 1.
    Giải:
    Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình: \(\left( {k + 2} \right){x^2} - 2kx - k = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó \(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1\,nen\,{x_1} + {x_2} = 2.\) Ngoài ra \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{2k}}{{k + 2}}\) nên \(\dfrac{{2k}}{{k + 2}} = 2,\) do đó \(k = k + 2\).
    Suy ra không tồn tại k thỏa mãn bài toán.

    Câu 3.24 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giả sử a, b là hai số thỏa mãn a > b > 0. Không giải phương trình
    \(ab{x^2} - \left( {a + b} \right)x + 1 = 0,\)
    Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình đó.
    Giải:
    Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình sau cho \({x_1} > {x_2}\)
    Khi đó, do a > b > 0 nên
    \(\eqalign{& {x_1} - {x_2} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{{a + b} \over {ab}}} \right)}^2} - {4 \over {ab}}} = \sqrt {{{\left( {{{a - b} \over {ab}}} \right)}^2}} = {{a - b} \over {ab}} \cr & {x_1} + {x_2} = {{a + b} \over {ab}} \cr} \)
    Suy ra tỉ số giữa tổng và hiệu hai nghiệm bằng \(\dfrac{{a + b}}{{a - b}}.\)

    Câu 3.25 trang 62 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Giải các phương trình sau đây :
    a. \({x^4} - 5{x^2} + 4 = 0\)
    b. \({x^4} - 13{x^2} + 36 = 0\)
    c. \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)
    d. \({x^4} - 24{x^2} - 25 = 0\)
    Giải:
    a. \(x = \pm 1,x = \pm 2.\)
    b. x = ± 2, x = ± 3
    c. x = ± 3
    d. x = ± 5.

    Câu 3.26 trang 62 SBT Đại số 10 Nâng cao.
    Các hệ số a, b và c của phương trình trùng phương \(a{x^2} + b{x^2} + c = 0\) phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình đó
    a. Vô nghiệm ?
    b. Có một nghiệm ?
    c. Có hai nghiệm ?
    d. Có ba nghiệm ?
    e. Có bốn nghiệm ?
    Giải:
    Đặt \(y = {x^2},\) ta có phương trình bậc hai
    \(a{y^2} + by + c = 0\) (1)
    a. Phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu
    • Phương trình (1) vô nghiệm, tức là \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0,\) hoặc
    • Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm, tức là \(\Delta \ge 0,ac > 0\) và \(ab > 0\)
    (\(\dfrac{c}{a} > 0\) và \({\, - {b \over a} < 0}\))
    b. Phương trình trùng phương đã cho có một nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có một nghiệm y = 0, nghiệm kia không dương, tức là c = 0 và ab ≥ 0.
    c. Phương trình trùng phương đã cho có hai nghiệm nếu và chỉ nếu
    • Phương trình (1) có một nghiệm kép dương, tức là \(\Delta = 0\) và \(ab < 0,\) hoặc
    • Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0.
    d. Phương trình trùng phương đã cho có ba nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có một nghiệm y = 0 và nghiệm kia dương, tức là c = 0 và ab < 0.
    e. Phương trình trùng phương đã cho có bốn nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có hai nghiệm dương, tức là ∆ > 0, ac > 0 và ab < 0.