Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn trong giải PTVT

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 1/12/17

    Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e} = px^2+qx+t$ có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, bài viết cách này đang trôi nổi ở một nơi nào đó trên diễn đàn, LTTK xin post lại
    Chúng ta có thể đặt một ẩn phụ hoặc hai ẩn phụ để giải quyết phương trình. Mục đích là đưa phương trình trở thành một phương trình bậc hai hai ẩn,có biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương.
    Ví dụ mở đầu:
    Giải phương trình $3x^2+x+3+(8x-3)\sqrt{2x^2+1}=0$
    Lời giải: Phương trình tương đương với $(3\sqrt{2x^2+1}-x)(\sqrt{2x^2+1}+3x-1)=0$
    Đến đây phương trình đã trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp.

    Khi nhìn vào lời giải trên không ít người thắc mắc về cách phân tích thành nhân tử phương trình trên, một lời giải khá gọn và đẹp nhưng tại sao lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ đi tìm lời giải đáp. Mặc dù máy tính Casio có thể tìm được nghiệm của phương trình,chúng ta có thể dựa vào nghiệm vô tỷ hoặc nghiệm phức để tìm ra nhân tử,nhưng nếu phương trình không có nghiệm vô tỷ thì sao. Phương pháp này có thể áp dụng cho cả hai trường hợp:

    Bài toán trên còn có một lời giải khác:
    Đặt $\sqrt{2x^2+1}=t$,phương trình trở thành:
    $3t^2+(8x-3)t-3x^2+x=0$
    Ta có $\Delta_t=100x^2-60x+9=(10x-3)^2$
    Từ đây dễ dàng giải tiếp

    Nhìn hai cách giải trên có gì đó liên quan đến nhau. Từ lời giải 2 dễ dàng suy ra lời giải 1.
    Ở cách giải thứ 2,hệ số của $t^2$ là $3$,nếu hệ số khác có làm cho $\Delta$ chính phương không,đáp án là không. Vậy những số nào có thể thỏa mãn?
    Chúng ta gọi hệ số đó là $m$,khi đó phương trình trở thành:
    $mt^2+(8x-3)t+3x^2+x+3-m(2x^2+1)=0$
    Chúng ta tìm $m$ để $\Delta_t$ chính phương
    $\Delta_t=(8x-3)^2-4m[3x^2+x+3-m(2x^2+1)]=(8m^2-12m+64)x^2- (4m+48 )x+4m^2-4m+9$
    $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức là:
    $\Delta_{\Delta_t}=0\Leftrightarrow -16m(8m^3-36m^2+117m-243)=0$
    Dễ dàng thấy phương trình trên có nghiệm $m=3$,từ đó suy ra cách biến đổi phương trình để có hai lời giải trên

    Tổng quát: Phương trình $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=px^2+qx+t$
    Viết lại phương trình thành $px^2+qx+t-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$
    Đặt $\sqrt{cx^2+dx+e}=t$
    Ta sẽ biến đổi phương trình thành $mt^2-(ax+b)t+P_{(x)}=0 (1)$
    Với $P_{(x)}=x^2+qx+t-m(cx^2+dx+e)$ và $\Delta_t$ là một biểu thức chính phương, nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm một giá trị m thoả mãn yêu cầu
    Viết lại phương trình $(1)$ thành $mt^2-(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}+(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e)=0$
    $\Delta_t=(ax+b)^2-4m\left[(1-mc)x^2+(q-md)x+(t-e) \right]$
    $=(a^2-4m+4m^2c)x^2+(2ab-4mq+4m^2d)x+(b^2-4mt+4me)=Ax^2+Bx+C$
    Để $\Delta_t$ chính phương khi phương trình $\Delta=0$ có nghiệm duy nhất,tức $\Delta_{\Delta_t}=0$
    Hay $B^2-4AC=0\Rightarrow (2ab-4mq+4m^2d)^2-4(a^2-4m+4m^c)(b^2-4mt+4me)=0$
    Khai triển vế trái của phương trình trên ta được một phương trình có dạng $m(a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=0$, phương trình này luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $m=0$
    Sau khi tìm được giá trị $m$, ta dễ dàng giải quyết phương trinh $(1)$
    VD: Giải phương trình $-4x^2+7+(2x-4)\sqrt{2-a^2}=0$
    Đặt $\sqrt{2-a^2}=t$
    Bước tiếp theo đi tìm m
    $\Delta_t=(2x-4)^2-4m[-4x^2+7-m(2-x^2)]=(-4m^2+16m+4)x^2-16x+8m^2-28m+16$
    $\Delta'_{\Delta_t}=64-(-4m^2+16m+4)(8m^2-28m+16)=32m^4-240m^3+480m^2-144m=m(32m^3-240m^2+480m-144)$
    Giải phương trình $m(32m^3-240m^2+480m-144)=0$,ta tìm được nghiệm $m=3$
    Phương trinh viết lại thành $3t^2+(2x-4)t-4x^2+7-3(2-x^2)=0$
    $\Leftrightarrow 3t^2+2(x-2)t-x^2+1=0$
    $\Delta'=(x-2)^2-3(1-x^2)=(2x-1)^2$
    $\Rightarrow \left[\begin{matrix}
    t=1-x \\
    t=\frac{x+1}{3}
    \end{matrix}\right.$
    Vậy là bài toán được giải quyết

    Một số phương trình:
    1. $(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28 - x$
    2. $2\sqrt{8-2x^2}+4x=\sqrt{9x^4-36x^2+52}$
    3. $x\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x^2-1}+x\sqrt{x-1}$
    4. $\sqrt{x^3-x}=2x^2-x-2$
    5. $(1-2x)\sqrt{x+\frac{1}{4}}=x^2-2x$
    6. $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$
    7. $4\sqrt{x+1}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$