Những bài toán Số học chọn lọc trong đề thi chọn HSG tỉnh năm 2017

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: LTTK CTV
    Đăng lúc: 25/10/17
    CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC CHỌN LỌC TRONG ĐỀ CHỌN HSG NĂM 2017

    $\boxed{1}$ [Hà Nội] Cho $x;\, y;\, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.

    $\boxed{2}$ [Hà Nội] Với mọi $n\in \left \{ 1;\,2;\,3 \right \}$, ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;\,n+2;\,(n+2)^{2};\,(n+2)^{3};\,...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.

    $\boxed{3}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
    \[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]

    $\boxed{4}$ [Đắk Lắk] Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\left(n^2+11n-4\right)n!+33.13^n+4$ là một số chính phương.

    $\boxed{5}$ [Đắk Lắk] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con $X$ của $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2p\}$ biết $X$ có đúng $p$ phần tử và tổng các phần tử của $X$ là bội của $p$.

    $\boxed{6}$ [Đắk Lắk] Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả
    \[{a^2} + 35 = {5^b}{6^c}{7^d}\]

    $\boxed{7}$ [Hoà Bình] Cho $a;\,b;\,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn
    $$a+b+c=a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)$$
    Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27.

    $\boxed{8}$ [Hoà Bình] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;\,b)$ sao cho$\left(a^2+b\right)\left(a+b^2\right)$ là một luỹ thừa của 2.

    $\boxed{9}$ [Nghệ An] Số nguyên dương $m$ gọi là số hoàn hảo nếu tổng các ước nguyên dương của nó là $2m$. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $1+n^n$ là số hoàn hảo.

    $\boxed{10}$ [Đồng Tháp] Có tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{(n+1)(6n+1)}{2017}$ là số chính phương?

    $\boxed{11}$ [Đồng Tháp] Xét tập hợp $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2017\}$. Ta tô màu mỗi phần tử của $S$ bởi một trong năm màu là Xanh, Đỏ, Tím, Vàng và Nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt $a;\,b;\,c$ của $S$ có cùng màu và thoả mãn $a\mid b$ và $b\mid c$.

    $\boxed{12}$ [Đồng Nai] Cho hai đa thức sau
    \[\begin{align*}P(x)=&x^5+5x^4+5x^3+5x^2+1\\
    Q(x)=&x^5+5x^4+3x^3-5x^2-1
    \end{align*}\]
    Tìm số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $a$ với $a<p$ thoả mãn $p$ là ước chung của $P(a)$ và $Q(a)$. Với $p$ tìm được, hãy tìm tất cả các số tự nhiên $a$ thoả mãn điều đó.

    $\boxed{13}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên dương $a;\,b;\,c;\,d$ thoả mãn $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ và
    \[{a^{2018}} + {b^{2018}} + {c^{2018}} + {d^{2018}} \;\text{là}\;\text{số}\;\text{nguyên}\;\text{tố}. \]

    $\boxed{14}$ [Đắc Nông] Tìm các số nguyên $a;\,b$ thoả mãn $2^na+b$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

    $\boxed{15}$ [Hà Nam] Tìm các bộ số nguyên dương $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả mãn
    \[a^2+2^{b+1}=3^c\]

    $\boxed{16}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi công thức sau: \[a_0=1;\,a_1=4;\,a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n\quad\forall \,n \in\mathbb N.\]
    Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của 2017.

    $\boxed{17}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên dương. Giả sử phương trình $\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}} + \dfrac {5}{\sqrt [7]{y}} = \dfrac {1}{n}$ có $m$ cặp nghiệm nguyên dương $(x;\,y)$ và $m-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $n$ là số chính phương.

    $\boxed{18}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn với mọi $k$ nguyên dương, tồn tại $m$ nguyên dương sao cho $n$ là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.

    $\boxed{19}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(n)$ là ước của $3^n-1$ với mọi số nguyên dương $n$ và $P(2017=1)$.

    $\boxed{20}$ [Hà Tĩnh] Tìm tất cả các cặp số nguyên $\,(a;b)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, ta có $n$ chia hết cho $a^n+b^{n+1}$.

    $\boxed{21}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.