Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Những bài toán Đại sô chọn lọc trong đề thi chọn HSG tỉnh năm 2017

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: LTTK CTV
    Đăng lúc: 25/10/17
    CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI HSG NĂM 2017

    $\boxed{1}$ [Quảng Ninh] Cho ba số thực dương $a;\, b;\, c$ có tổng bằng 3. Chứng minh rằng:
    \[\dfrac{{{a^2}}}{{2a + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2b + 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2c + 1}} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6} }}\]
    $\boxed{2}$ [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm: $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
    \[f\left ( x^2-\left ( f\left ( y \right ) \right )^2 \right )=x.f(x)+y^2\quad \forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
    $\boxed{3}$ [Quảng Ninh]Cho $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn:
    \[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x) \quad\forall\, x \in \mathbb{R}\]
    • Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
    • Giả sử rằng tổng bậc của $P(x),\,Q(x),\,R(x)$ là 5 và hệ số cao nhất của $R(x)$ là 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
      \[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]
    $\boxed{4}$ [Nghệ An] Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$:
    \[ \begin{cases}\sqrt {xy - {x^2}} + 9\sqrt {xy + {x^2}} &= 16y\\
    xy - 5x - 4y &= 80 \end{cases}\]
    $\boxed{5}$ [Nghệ An] Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi $a_1>3$ và \[a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_{n}}\quad \forall n \geq 1;\, n \in \mathbb{N}\]
    Xác định số thực dương $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$:
    \[\sqrt{x^2+a_{1}^2}+\sqrt{x^2+a_{2}^2}
    +...+\sqrt{x^2+a_{n}^2}
    >n\sqrt{x^2+a^2}.\]
    $\boxed{6}$ [Nghệ An] Tìm tất cả các hàm đơn điệu: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f(x+f(y))=f(x)+y^n\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
    Trong đó $n$ là số nguyên dương cho trước.
    $\boxed{7}$ [Quảng Trị] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thay đổi và thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    \[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {6 - \frac{x}{y} - \frac{y}{z} - \frac{z}{x}} \right)\]
    $\boxed{8}$ [Quảng Trị] Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a;\,b;\,c;\,d$ là các hằng số thực thoả mãn $f(-1)=100;\,f(-2)=200$ và $f(-3)=300$. Tính giá trị của biểu thức
    \[P = \frac{{f\left( {10} \right) + f\left( { - 14} \right)}}{{16}} - 582.\]
    $\boxed{9}$ [Tiền Giang] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {x + y} \right) \ge f\left( x \right)f\left( y \right) \ge {2017^{x + y}}\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
    $\boxed{10}$ [Tiền Giang] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau:
    • $f(1)=1.$
    • $f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.$
    • $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^2}\quad\forall\,x\ne 0.$
    Tính $f\left(\sqrt{2017}\right)$.
    $\boxed{11}$ [Hà Nam] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: \[f\left( {f\left( x \right) + ay} \right) = \left( {{a^2} + a} \right)x + f\left( {f\left( y \right) - x} \right)\quad \forall\, x;\,y\in\mathbb R.\]
    Trong đó $a$ là một hằng số và $a\notin\{0;\,-1\}$.
    $\boxed{12}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho các số thực dương $a;\,b;\,c$ thoả $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng mình rằng
    \[\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1.\]
    $\boxed{13}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Cho số nguyên dương $n$ và đa thức hệ số thực
    \[P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}\]
    Biết rằng $P(0);\,P(1);\,\ldots;\,P(n)$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $P(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$.
    $\boxed{14}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
    \[f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = {x^2} + f\left( x \right) + f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    $\boxed{15}$ [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\;\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và
    \[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1)\quad\forall\,n\in\mathbb N^*\]
    $\boxed{16}$ [Đồng Nai] Tìm tất cả các hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
    \[f\left( {xf\left( y \right) - yf\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    $\boxed{17}$ [Đồng Tháp] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương, chứng minh rằng
    \[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2.\]
    $\boxed{18}$ [Đồng Tháp] Tìm các đa thức $P(x)$ có bậc không vượt quá 3 và thoả mãn
    \[P\left( {6{x^2} - x - 1} \right) + P\left( {1 - 6{x^2} - x} \right) = 1 + {P^2}\left( {2x} \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
    $\boxed{19}$ [Đắk Lắk] Cho các số thực dương $a;\,b$ với $a>b$, và bất phương trình
    \[x^2-(a+b)x+ab\le 0\]
    Giả sử $x_1;\,x_2;\,\ldots;\,x_n$ là các nghiệm của bất phương trình trên, chứng minh rằng
    \[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}} \right)}^2}}}{{n\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right)}} \ge \frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
    $\boxed{20}$ [Đắk Lắk] Tìm các đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ thoả mãn
    \[\left( {{x^2} + 2x} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)P\left( x \right) + 2{x^2} + 2x\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
    $\boxed{21}$ [Đắk Lắk] Giải hệ phương trình
    \[\begin{cases}\dfrac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {1 + xy} }}&=0\\
    \sqrt {\left( {2x - 2} \right)\left( {y + 5} \right)} + \sqrt {\left( {2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} &= 3 + 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 5} } \right)
    \end{cases}\]
    $\boxed{22}$ [Đắk Lắk] Cho hàm số: $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
    \[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    • Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh.
    • Tìm hàm $f(x)$.

    $\boxed{23}$ [Tây Ninh] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả $xyz=1$, chứng minh rằng
    \[\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3} + 2{y^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{y^3} + 2{z^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{z^3} + 2{x^3} + 6}}}} \le \sqrt 3 \]
    $\boxed{24}$ [Tây Ninh] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn
    \[f\left( {f\left( n \right)} \right) + 2f\left( n \right) = 3n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb N.\]
    $\boxed{25}$ [Đà Nẵng] Với mỗi số thực $t$, gọi $g(t)$ là số các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
    \[f\left( {xy + f\left( y \right)} \right) = t + yf\left( x \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    Tìm hàm số $g(t)$.


    $\boxed{26}$ [Hà Tĩnh] Cho các số thực không âm $a;\,b;\,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng
    \[\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c - abc} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\]
    $\boxed{27}$ [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba:
    \[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4\]
    • Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất.
    • Gọi các nghiệm dương của $P(x),\, Q(x)$ lần lượt là $p;\, q$. Chứng minh rằng: \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\]

    $\boxed{28}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
    \[xP\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)P\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
    $\boxed{29}$ [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn
    \[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {2{x^2} - 1} \right) + 3\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
    $\boxed{30}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
    \[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2}\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    $\boxed{31}$ [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
    \[f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    $\boxed{32}$ [Đắk Nông] Tìm các hàm số $f:\, \left(0;\,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
    \[\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = {x^2}f\left( x \right)\quad\forall\,x\in\mathbb R.\]
    $\boxed{33}$ [Đắk Nông] Trong tập hợp $[-1;\,1]$, lấy bất kì các giá trị $x;\,y;\,z$ thoả mãn có tổng bằng 0 và tổng bình phương bằng 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
    \[P=x^{2018}+y^{2018}+z^{2018}.\]
    $\boxed{34}$ [Đắk Nông] Biết rằng $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Chứng minh rằng: \[x+y+z \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.\] Dấu "=" xảy ra khi nào?


    $\boxed{35}$ [Hà Nội] Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: \[f(\tan x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x\quad \forall x\in \left ( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right )\]
    Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
    \[f\left(\sin^2x \right)f\left(\cos^2x\right);\quad (x\in \mathbb{R})\]
    $\boxed{36}$ [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho:
    \[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1\quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
    $\boxed{37}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn:
    \[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2}\quad \forall \,m;\,n \in \mathbb{R}.\]
    $\boxed{38}$ [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thoả mãn $P(2017)=1$, và $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.


    $\boxed{39}$ [Thanh Hoá] Cho dãy số: $a_{0};\,a_{1};\,a_{2};\,...$ thoả mãn: \[a_{m+n}+a_{m-n}=\dfrac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})\quad\forall\,m;\,n \in \mathbb N,\; m\geqslant n.\] Nếu $a_{1}=1$, hãy xác định: $a_{2017}$.


    $\boxed{40}$ [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
    \[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) \quad\forall \,x;\,y \in \mathbb{R}\]
    $\boxed{41}$ [Huế] Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh tồn tại $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho :
    \[0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i.\]
    $\boxed{42}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P\left(\sqrt [3]{3}\right)=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.


    $\boxed{43}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$. Chứng minh rằng: \[\dfrac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \dfrac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \dfrac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geqslant 0.\]
    $\boxed{44}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
    \[f\left( {\left( {x - y} \right)f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( {y - x} \right) + x = 0\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
    $\boxed{45}$ [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a;\,b;\,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
    \[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + \frac{9}{{2(ab + bc + ca)}} \ge \frac{9}{2}.\]
    $\boxed{46}$ [Lâm Đồng] Giải hệ phương trình
    \[\begin{cases}
    x\sqrt {{y^2} + 3y + 4} + y\sqrt {{x^2} - x + 1} &= x + y\\
    \left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x - y + 1} - y - 3 &= 2{x^2} - 3x
    \end{cases}\]
    $\boxed{47}$ [Lâm Đồng] Cho các số thực dương $x;\,y;\,z$ thoả mãn điều kiện
    \[x^3+y^2+z=1+2\sqrt 3\]
    Tìm giá trị nhỏ nhất của
    \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^3}}}\]
    $\boxed{48}$ [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
    \[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]