Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Kỹ thuật dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: LTTK CTV28
    Đăng lúc: 9/6/19
    A. NỘI DUNG
    Một bất đẳng thức đối xứng 3 biến $a,b,c$, ký hiệu là $P(a,b,c)$, ta phải chứng minh $P(a,b,c) \geq 0$.
    Dồn biến chính là một cách tách bất đẳng thức cần chứng minh thành hai bất đẳng thức đơn giản hơn tức là đánh giá $P(a,b,c)$ qua một biểu thức trung gian chẳng hạn $P\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc} \right ), P\left (a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right )$,$P\left (a,\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}},\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \right ),...$ sau đó đánh giá biểu thức trung gian.
    Tóm lại, có 2 bước cần làm:
    • Bước 1: Chứng minh $P(a,b,c) \geq P_{TG}$ và cần sắp thứ tự các biến để bất đẳng thức đúng.
    • Bước 2: Chứng minh $P_{TG} \geq 0$.
    Thông thường, thực hiện bước 2 trước để kiểm tra tính đúng của phương pháp dồn biến, sau đó thực hiện bước 1, chú ý sắp thứ tự các biến chẳng hạn $a=min\left \{ a,b,c \right \}$ hoặc $a=max\left \{ a,b,c \right \}$.
    Dưới đây là một số phương pháp dồn biến phụ thuộc vào điều kiện bài toán.​
    1. Điều kiện bài toán là $a+b+c=k$
    Ta tìm cách đánh giá $P(a,b,c)-P\left (a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right ) \geq 0$
    $$P\left (a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right )=P\left (a,\frac{k-a}{2},\frac{k-a}{2} \right ) \geq 0$$
    Khi đó, ta cần sắp thức tự $a=min\left \{ a,b,c \right \}$ hoặc $a=max\left \{ a,b,c \right \}$.
    2. Điều kiện bài toán là $abc=1$
    Ta tìm cách đánh giá $P(a,b,c) \geq P\left (a,\sqrt{bc},\sqrt{bc} \right ) \geq 0$
    $$P\left (a,\sqrt{bc},\sqrt{bc} \right )=P \left (\frac{1}{x^2},x,x \right) \geq0$$ với $x=\sqrt{bc}$.
    Khi đó, ta cần sắp thức tự $a=min\left \{ a,b,c \right \}$ hoặc $a=max\left \{ a,b,c \right \}$.
    Chú ý: Một số trường hợp dồn biến về $f\left ( ta,\frac{b}{t},c \right )$ với $t \in \left [ \sqrt{\frac{b}{a}};1 \right ]$
    3. Điều kiện bài toán là $a^2+b^2+c^2=k$
    Ta tìm cách đánh giá $P(a,b,c)-P\left (a,\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}},\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \right) \geq 0$
    $$P\left (a,\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}},\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \right)= P\left (a,\sqrt{\frac{k-a^2}{2}},\sqrt{\frac{k-a^2}{2}} \right) \geq 0$$.
    Khi đó, ta cần sắp thức tự $a=min\left \{ a,b,c \right \}$ hoặc $a=max\left \{ a,b,c \right \}$.
    4. Dồn biến bằng hàm số
    Dưới đây là kỹ thuật dồn biến bằng hàm số dạng đơn giản nhất khi điều kiện của bài toán cho tổng các số không đổi $a+b+c=k$, dấu bằng đạt tại một biến bằng 0 hoặc 2 số bằng nhau.
    Khi đó, sắp thức tự lại biến số, giả sử $a \geq b \geq c$, lúc đó dấu bằng đạt tại
    $c=0\Rightarrow bc=0 $ hoặc $b=c\Rightarrow bc=\left ( \frac{b+c}{2} \right )^{2}$
    nên ta đặt $t=b+c,s=bc,0 \leq s \leq \frac{t^2}{4}$.
    Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng hàm số $f(s)$ vè chỉ ra rằng $f(s)$ nghich biến hoặc đồng biến trên $\left [ 0;\frac{t^2}{4} \right ]$
    + Nếu dấu bằng đạt tại một số bằng 0 ta cần chỉ ra rằng $f(s)$ nghịch biến tức $f(s) \leq f(0)$, lúc đó đưa về chứng minh bất đẳng thức với hai biến a và với $a+t=k$. Vậy bài toán đưa về chứng minh bất đẳng thức một biến số.
    + Nếu dấu bằng đạt tại hai số bằng nhau khi đó $b=c \Rightarrow s= \frac{t^2}{4}$ tức $f(s)$ là hàm đồng biến.
     
    Chỉnh sửa cuối: 9/6/19