Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Đề thi chọn HSG tỉnh Long An năm 2014

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 31/10/17

    Câu 1 (6,0 điểm)
    a) Giải phương trình sau trên tập số thực: $2x^2+3x+7=(x+5)\sqrt{2x^2+1}$
    b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $\begin{cases}(x+\sqrt{x^2+4})(y+\sqrt{y^2+1})=2\\6y^2-5y+1=\sqrt[3]{x^3+1}\end{cases}$

    Câu 2 (5,0 điểm)
    a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d)$ có phương trình: $x-y+1=0$, đường tròn (C) có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=9$ và điểm $P(-1;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(d)$ sao cho từ $M$ kẻ tới (C) hai tiếp tuyến $MA,\,MB$ ($A, B$ là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ $P$ tới đường thẳng $AB$ lớn nhất.
    b) Cho tam giác không vuông ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: $\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$

    Câu 3 (3,0 điểm)
    Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $\begin{cases}u_1=2\\u_{n+1}=u_n^2+u_n,\,\forall n\in\mathbb{N^*}\end{cases}$
    a) Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên.
    b) Đặt $x_n=\dfrac{u_1}{u_2}+\dfrac{u_2}{u_3}+...+\dfrac{u_n}{u_{n+1}}.\,\forall n\in\mathbb{N^*}$. Tìm $\lim\,x_n$.

    Câu 4 (3,0 điểm)

    Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:$$\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le 1$$

    Câu 5 (3,0 điểm)
    Tìm $m$ để đồ thị $(C_m)$ của hàm số $y=x^4-2(m-1)x^2+2m^2-m+1$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.