Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Đề thi chọn HSG tỉnh Bình Dương năm 2015

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 31/10/17

    Câu 1 (5 điểm)
    Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=10$.Chứng minh rằng:
    $$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)+12a^2b^2c^2\geq 30$$

    Câu 2 (5 điểm)
    Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $P(x^2+1)=P(x).P(x+1)$, $\forall x$

    Câu 3 (5 điểm)
    Cho n số thực $a_1;a_2;...;a_n$ bất kỳ.Chứng minh rằng tồn tại số thực $x$ sao cho cho $a_1+x$,$a_2+x$,$a_3+x$,...,$a_n+x$ đều là số vô tỉ

    Câu 4 ( 5 điểm)
    Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Một đường tròn $(J)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $D$ và tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $E$ sao cho $D$ và $A$ nằm về hai phía đối với đường thằng $BC$.Từ $C$ kẻ tiếp tuyến của đường tròn $(J)$ ,tiếp xúc với $(J)$ tại $F$ sao cho $F$ và $D$ nằm về hai phía đối với đường thẳng $BC$.Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

    Câu 5 ( 6 điểm)

    Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiên:
    $$f((x-y)^2)=x^2-2yf(x)+(f(y))^2 \text{, } \forall x,y\in\mathbb{R}$$

    Câu 6 ( 7 điểm)

    Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$ có ghi tương ứng ba số $a,b,c$ không đồng thời bằng nhau. Người ta thực hiện phép thay đổi tại ba đỉnh của tam giác như sau:Nếu ở trước ở ba đỉnh có ghi ba số $\left ( x;y;z \right )$ thì bước tiếp theo sẽ ghi ba số $\left ( x+y-2z;y+z-2x,z+x-2y \right )$.Chứng minh rằng xuất phát từ bộ ba số $\left ( a,b,c \right )$ sau một số lần thực hiện như trên ,ta sẽ nhận được bộ ba số mà ít nhất một trong ba số của nó không nhỏ hơn $2015$.

    Câu 7 ( 7 điểm)

    a) Cho tam giác $ABC$ với $M,N$ là trung điểm $AC,AB$.Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA$ tại $D,E$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BI,MN,DE$ đồng quy.

    b) Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ di chuyển trên tia đối của tia $CB$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XAB$ và $XAC$ cắt nhau tại $P,Q$.Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ thay đổi.