Đề thi chọn HSG lớp 11 TP. Hồ Chí Minh năm 2011

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 29/10/17

    Bài 1: (4đ)
    Giải hệ phương trình sau:
    $$\begin{cases}{x^{y+1}=(y+1)^x} \\{\sqrt{-4x^2+18x-20}+\dfrac{2x^2-9x+6}{2x^2-9x+8}=\sqrt{y+1}}\end{cases}$$

    Bài 2: (4đ)
    Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$. Cát tuyến qua $B$ cắt $(O_1) $và $(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ ($B$ nằm giữa $C,D$). Đường thẳng $MC$ cắt$ (O_1)$ tại $P$ khác $C$. Đường thẳng $MD$ cắt$ (O_2)$ tại $Q$ khác $D$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$, $E$ là giao điểm của $PB$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $QB$ và $AD$. Cm $MO$ vuông góc $EF$.

    Bài 3: (4đ)
    Cho a,b,c là các số thực dương, cm rằng:
    $$\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(a+1)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$$

    Bài 4: (4đ)
    Cho đa thức$ P(x)=x^{2012}-mx^{2010}+m (m \neq 0)$. Giả sừ P(x) có đủ 2012 nghiệm thực. Cm rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm $x_o$ thỏa mãn $|x_o|\leq \sqrt{2}$

    Bài 5: (4đ)
    Cho các số nguyên $x,y$. Biết rằng $x^2-2xy+y^2-5x+7y$ và $x^2-3xy+2y^2+x-y$ đều chia hết cho 17. Cm rằng $xy-12x+15y$ chia hết cho $17$.

    Bài 6: (4đ)
    Tìm tất cả các hàm$ f: R\rightarrow R$ thỏa
    $$f(f(x)+y)=f(x^2-y)=4yf(x)$$

    Bài 7: (4đ)
    Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, lấy $P,Q$ bất kỳ thuộc $AB,AC$. $M,N,J$ lần lượt là trung điểm $BP,QC,PQ$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNJ$ cắt $PQ$ tại $R$. CMR: $OR$ vuông góc $PQ$

    Bài 8: (4đ)
    Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
    $$\dfrac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\leq \dfrac{a+b+c}{4}$$

    Bài 9: (4đ)
    Tìm số hạng tổng quát của dãy $u_n$ thỏa

    $$\begin{cases}{u_1=\dfrac{4}{5}} \\{u_{n+1}=\dfrac{u_n^4}{u_n^4-8u_n^2+8}}\end{cases}$$

    Bài 10: (4đ)
    Tìm các số nguyên dương a,b sao cho $a^2b^2-4(a+b)$ là bình phương của một số nguyên