Đề thi chọn HSG lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai năm 2011

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 31/10/17

    Bài 1: Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
    $$x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$$

    Bài 2:
    Cho tứ diện $ABCD$ và $I$ là một điểm nằm trong tứ diện đó. Các đường thẳng $AI, BI, CI, DI$ cắt các mặt đối diện của tứ diện tại $A', B', C', D'$. Chứng minh rằng:
    $$\dfrac{IA}{AA'} + \dfrac{IB}{BB'} + \dfrac{IC}{CC'} + \dfrac{ID}{DD'} = 3$$

    Bài 3:
    Cho hai số thực $a$ và $b$. Xét dãy số $(x_n)$: $\begin{cases}x_0 = a\\x_{n + 1} = 1 + b.x_n; \forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$.
    Tìm điều kiện của $a, b$ để $(x_n)$ có giới hạn tìm $\lim x_n$.

    Bài 4:
    Tìm tất cả các số chính phương $S$ có tính chất: $S$ có thể biểu diễn dưới dạng: $S = 2^8 + 2^{11} + 2^m$ với $m$ là số nguyên dương nào đó.

    Bài 5.
    Giải phương trình
    $$4x - x^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{1 + \sqrt{x^4 - 8x^3 + 16x^2 + 1}}$$

    Bài 6:
    Cho tập hợp $S = \{1;2;3;...;2011\}$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tập hợp $S$ có tính chất sau: nếu ta xóa $n$ số trong tập hợp $S$ thì trong các số còn lại của $S$, không có số nào là tích của $2$ số khác.