Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Đề thi chọn đội tuyển VMO tỉnh Hà Nam năm 2016

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 2/11/17

    Bài $1$: Cho $2$ dãy số đc xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} & x_{1}=y_{1}=\sqrt{3} & \\ & x_{n+1}=x_{n}+\sqrt{1+x_{n}^2} & \\ & y_{n+1}=\frac{y_{n}}{1+\sqrt{1+y_{n}^2}} & \end{matrix}\right.$ $\forall n\geq 1$
    $a)$ CMR: $x_{n}y_{n}\in (2;3)$ $\forall n\geq 2$
    $b)$ Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty} y_{n}$

    Bài $2$: Cho $a,b,c\geq 0$. Tìm min của: $P=\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}$

    Bài $3$: Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$ Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. $A_{1},A_{2};B_{1},B_{2};C_{1},C_{2}$ lần lượt là giao của $YZ,ZX,XY$ với $(O)$. CMR: $I$ là tâm đẳng phương của $3$ đường tròn $(DA_{1}A_{2}),(EB_{1}B_{2}),(FC_{1}C_{2})$

    Bài $4$: Cho $P,Q,R$ là $3$ đa thức hệ số thực thỏa mãn: $P(Q(x))+P(R(x))=c$ $\forall x\in\mathbb{R}$ với $c=const\in\mathbb{R}$
    CMR: $P(x)\equiv const$ hoặc $[Q(x)+R(x)]\equiv const$

    Bài $5$: Gọi $A$ là tập các bộ $(x_{1},x_{2},x_{3})$ với $x_{1},x_{2},x_{3}\in$ {$0;1;2;...;7$}. Bộ $x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in A$ gọi là trội hơn bộ $y=(y_{1},y_{2},y_{3})\in A$ nếu $x\neq y$ và $x_{i}\geq y_{i}$ $\forall i=1;2;3$. Khi đó ta viết $x>y$. Tìm $n_{min}\in\mathbb{N^{*}}$ sao cho mọi tập con có $n$ ptử của $A$ đều chứa ít nhất $2$ bộ $x>y$