Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Đề thi chọn đội tuyển VMO tỉnh Đồng Nai năm 2014

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 31/10/17

    Câu 1 (5 điểm)
    Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n-\sqrt{u_n^2+1},n=1,2,3... \end{matrix}\right.$
    Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} \dfrac{2u_{n+1}^2+3u_n^2}{u_{n+1}^2+2u_{n-1}}$.

    Câu 2 (5 điểm)
    Cho phương trình $x^4+4x^3-2ax^2-12x+a^2=0\;\;(1)$ với tham số $a \in (1,3)$.
    1) Chứng minh phương trình $(1)$ luôn có 4 nghiệm phân biệt.
    2) Tính tổng $S=\sum_{i=1}^{4}\frac{2x_i^2+1}{(x_i^2-a)^2}$ theo $a$ với $x_1,x_2,x_3,x_4$ là bốn nghiệm của $(1)$.

    Câu 3 (5 điểm)
    Cho $n \geq 3$ là một số nguyên dương. Chứng minh với $n$ điểm phân biệt nằm trong mặt phẳng, sao cho trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng thì số tam giác có đỉnh được lấy trong $n$ điểm đã cho và có diện tích bằng $1$ không lớn hơn $\dfrac{2}{3}(n^2-n)$.

    Câu 4 (5 điểm)
    Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai cát tuyến phân biệt $PAB,PCD$ sao cho $AC$ không song song $BD$. Gọi $E$ là giao của $AD,BC$. $F,G$ là trung điểm của $BD,AC$. $I$ đối xứng của $E$ qua $F$.
    1) Chứng minh $PE,PI$ đẳng giác trong góc $APC$.
    2) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $EFG$ tiếp xúc với $PE$.

    Câu 5 (7 điểm)
    Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định. $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ không cân và $A$ không trùng $B,C$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song $BC$ cắt $EF$ tại $K$. $N$ là giao của $ID,EF$. Chứng minh
    1) Ba điểm $A,N,M$ thẳng hàng với $M$ là trung điểm $BC$.
    2) Đường thẳng qua $I$ vuông góc $DK$ luôn đi qua một điểm cố định.

    Câu 6 (6 điểm)
    Cho $X,Y$ là hai tập khác rỗng rời nhau thỏa $X\cup Y=\left \{ 1,2,3...,10 \right \}$. Chứng minh tồn tại phần tử $a \in X$ và $b\in Y$ sao cho $a^3+ab^2+b^3$ chia hết cho $11$.

    Câu 7 (7 điểm)
    Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên dương $x$ để $4x^n+(x+1)^2$ là số chính phương.

    Câu 8 (5 điểm)
    Giải phương trình :
    $$(5x-4)\sqrt{2x-3}-(4x-5)\sqrt{3x-2}=2$$

    Câu 9 (5 điểm)
    Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :
    $$g\left [ g(x)-x^2+yz \right ]=g(x)\left [ g(x)-2x^2+2yz \right ]+z^2\left [ y^2-g(y) \right ]+y^2\left [ z^2-g(z) \right ]-2x^2yz+x+g(y)g(z)+x^4,\;\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$

    Câu 10 : (5 điểm)
    Một số tự nhiên được gọi là "số may mắn" nến tổng các chữ số của nó là $7$. Gọi $a_1,a_2,...,a_n,..$ là dãy tất cả các "số may mắn" được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Hỏi :
    1. Số $2014$ là số hạng thứ mấy của dãy ?
    2. Số hạng $a_{325}$ là số nào ?

    Câu 11 (5 điểm)
    Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. $D$ đối xứng $B$ qua $A$ và $M$ là trung điểm $CD$. Đường tròn $(BDM)$ cắt $AC$ ở $E$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $(BCE)$ cắt $BM$ tại $F$ khác $B$. $BE,CF$ cắt nhau ở $I$. $BM,DI$ cắt nhau ở $K$.
    1. Chứng minh $CM=MF$.
    2. Chứng minh $I$ là tâm nội tiếp tam giác $BKC$.