Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Đề thi chọn đội tuyển VMO tỉnh Đăk Lăk năm 2015

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 31/10/17

    Bài 1 (4 điểm)
    Giải phương trình $:x^2-x-6=(2^x+1)\left ( 2^{\frac{x}{2}}+2 \right )\left ( \sqrt{x+1}-2 \right )$

    Bài 2 (3 điểm)
    Cho $a,b,c\ge 0$.Chứng minh bất đẳng thức
    $(a+bc)^2+(b+ca)^2+(c+ab)^2\geq \sqrt{2}(a+b)(b+c)(c+a)$​
    Tìm tất cả bộ số $\left ( a,b,c \right )$ để dấu đẳng thức xảy ra

    Bài 3 (3 điểm)
    Cho hai đa thức $\mathcal{P}(x),\mathcal{Q}(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$.Biết
    $x^2+x+1\mid x.\mathcal{P}(x^2+x)+\mathcal{Q}(x^3)$​
    Chứng minh rằng $2015\mid \mathcal{P}(2014)+\mathcal{Q}(2016)$

    Bài 4 (4 điểm)
    Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ có $AB=AD=a$.Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(A,a)$ cắt $BD$ tại điểm $S$,đường thẳng $SA$ cắt đường tròn $\left ( O,\frac{AC}{2} \right )$ tại hai điểm $A,N$.Gọi $E=BN\cap MD,F=BM\cap ND$.Chứng minh rằng
    $1)$ $\overline{M,N,C}$
    $2)$ $MO\perp FE$

    Bài 5 (3 điểm)
    Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} x_0=1,x_1=16\\x_{n+2}=14x_{n+1}-x_n+2,\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $x_n$ là số chính phương.

    Bài 6 (3 điểm)
    Tìm số nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2015\\x\ge 50 \\y\le 100 \\50\le z\le 100 \end{matrix}\right.$