Vui lòng bật JavaScript để tiếp tục sử dụng Website!

Đề thi chọn đội tuyển VMO PTNK năm 2015

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 31/10/17

    Bài 1 : Dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_n=\frac{1}{n.\cos \left ( \frac{1}{n} \right )}$, $\forall n\in \mathbb{N} \left \{ 0 \right \}$
    Tìm $\lim \frac{x_1+x_3+x_5+...+x_{2n-1}}{x_2+x_4+x_6+...+x_{2n}}$

    Bài 2 : Với những giá trị nào của $b$ thì tồn tại $a$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
    $$\left\{\begin{matrix} (x-1)^2+(y+1)^2=b\\ y=x^2+(2a+1)x+a^2 \end{matrix}\right.$$

    Bài 3 : Cho $n$ là số nguyên dương, $n\geq 2$ và $X=\{ 1;2;3;...;n\}$. $A_1;A_2;...;A_m$ và $B_1;B_2;...;B_m$ là hai dãy các tập con khác rỗng của X thỏa mãn điều kiện : Với mọi $i$ và $j$ thuộc $\{1;2;...;m\}$, $A_i\cap B_j=\not O$ nếu và chỉ nếu $i=j$.
    a) Chứng minh rằng với mỗi hoán vị $(x_1,x_2,...,x_n)$ của X, có không quá một cặp $(A_i;B_i)$ với $i\in \{1;2;...;m\}$ sao cho nếu $x_k\in A_i$ và $x_l\in B_i$ thì $k<l$
    b) Gọi $a_i,b_i$ lần lượt là số phần tử của các tập $A_i;B_i$.
    Chứng minh rằng : $\sum _{i=1}^m \frac{1}{\textrm{C}^{a_i}_{a_i+b_i}}\leq 1$

    Bài 4 : Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(I)$ qua $B$ và $C$ lần lượt cắt $BA, CA$ tại $E, F$.
    a) Giả sử các tia $BF, CE$ cắt nhau tại $D$ và $T$ là tâm $(AEF)$. Chứng minh $OT//ID$
    b) Trên $BF, CE$ lần lượt lấy các điểm $G, H$ sao cho $AG\perp CE$ và $AH\perp BF$. Các đường tròn $(ABF)$, $(ACE)$ cắt $BC$ tại các điểm $M$, $N$ (khác $B$ và $C$) và cắt $EF$ tại $P$, $Q$ (khác $E$ và $F$). Gọi $K$ là giao điểm $MP$ và $NQ$. Chứng minh $DK \perp GH$