Đề thi chọn đội tuyển HSG tỉnh Hải Phòng năm 2009

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: LTTK CTV
    Đăng lúc: 28/10/17
    ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH HẢI PHƯƠNG NĂM 2009

    Bài 1:
    Tìm các đa thức $P(x,y)$ hệ số thực thỏa mãn: $P(x,y)=P(x+y,y-x) \ \forall x,y\in R$.

    Bài 2:
    Chứng minh rằng: $|{12^m-5^n}|\geq 7\ \forall m,n \in N^*$.

    Bài 3:
    Cho KL và KN là các tiếp tuyến của đường tròn C, với $L, N \in C$. Lấy M bất kỳ trên đường thẳng $KN$ ($M, K$ khác phía so với $N$). Giả sử $C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $KLM$ tại điểm thứ 2 là $P. Q$ là chân đường vuông góc hạ từ $N$ xuống $ML$.
    Chứng minh rằng: $\angle {MPQ}=2\angle {KML}$.

    Bài 4:
    Cho dãy số: $a_1=a_2=12\sqrt2,a_{n+1}=-a_n\sqrt{a_{n-1}^2+1}+a_{n-1}\sqrt{a_n^2+1}\ \forall n\geq2$.
    Chứng minh rằng: $\sqrt{2+2\sqrt{a_n^2+1}}\in N \ \forall n\geq1$.

    Bài 5:
    Chứng minh rằng: Có thể tô màu mỗi phần tử của tập $\{1;2;3;...;2009\}$ bằng một trong hai màu đen trắng sao cho mọi cấp số cộng công sai khác $0$ gồm $18$ phần tử của $A$ đều được tô bởi đủ cả $2$ màu.