Tổng hợp kiến thức chuyên đề giới hạn của hàm số

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 1/12/17

    A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT:

    I. Giới hạn hữu hạn

    1.Giới hạn đặc biệt:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$;
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$ ($c$: hằng số)

    2.Định lí:

    a) Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$ thì:
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) - g(x)} \right] = L - M$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}$ (nếu $M\ne 0$)
    b) Nếu $f(x) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L $
    c) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f(x)} \right| = \left| L \right|$

    II. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

    1.Giới hạn đặc biệt:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty $
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ \begin{array}{l}
    + \infty \,\,\,\text{nếu}\,\,k\,\,\text{chẵn}\\
    - \infty \,\,\,\text{nếu}\,\,k\,\,\text{lẻ}
    \end{array} \right.$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c$;
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty $
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty $
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left| x \right|}} = + \infty $

    2.Định lí:

    Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \pm \infty $ thì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x) = \pm \infty$.
    Bảng sau:
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} g(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x).g(x) \\
    \hline
    + & +\infty & +\infty \\
    \hline
    + & -\infty & -\infty\\
    \hline
    - & +\infty& -\infty\\
    \hline
    - & -\infty & +\infty\\
    \hline
    \end{array}$
    Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = 0$ thì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \pm \infty $.
    Bảng sau:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} g(x) & Dấu\,\, của\,\,g(x)\,(Trong\,\, lân\,\, cận \,\,x_0) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \\
    \hline
    + & 0 &+& +\infty \\
    \hline
    + & 0 &-& -\infty \\
    \hline
    - & 0 &+& -\infty\\
    \hline
    - & 0 &-& +\infty\\
    \hline
    \end{array}$

    III. Giới hạn một bên:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$
    * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty-\infty$, $0.\infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

    B. MỘT SỐ VẤN ĐỀ - DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ


    Chú ý: Đối với hàm số lượng giác thì cũng có các dạng tương tự và vận dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1$

    C. VÍ DỤ VẬN DỤNG:


    Vấn đề 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$


    Dạng 1: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{L}{M}$, $M \ne 0,\,\,L \ne 0$

    Phương pháp:
    Thế ${x_0}$vào $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{L}{M}$

    Ví dụ 1:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{{1^3} - 8}}{{{1^2} - 4}} = \frac{{ - 7}}{{ - 3}} = \frac{7}{3}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 3} }}{3} = \frac{1}{3}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x} = \frac{{\sqrt[3]{{ - 3 + 1}} - \sqrt {1 + 3} }}{{ - 3}} = \frac{{2 + \sqrt[3]{2}}}{3}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x}}{x} = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\frac{\pi }{4}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{\pi }$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \frac{{\left| {2 - 3} \right|}}{{{{2.3}^2} - 5.3 + 2}} = \frac{1}{5}$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{x}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{x - 2}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{2}$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{x}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{x - 2}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$
    i)$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2}\sin \frac{1}{2}$

    Dạng 2: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{0}{M},\,\,M \ne 0$
    Phương pháp:
    Thế ${x_0}$ vào $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{0}{M} = 0$

    Ví dụ 2:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} + 4}} = \frac{{{2^3} - 8}}{{{2^2} + 4}} = \frac{0}{8} = 0$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{x + 1}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 0} }}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{0 + 1}} - \sqrt {1 + 0} }}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{x + 1}} = \frac{{\sin 0}}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 1}} = \frac{{\left| {2 - 2} \right|}}{{{{2.2}^2} - 5.2 + 1}} = \frac{0}{{ - 1}} = 0$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} + 2x}}{{x - 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{2x}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 1} - 1}}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} - 1}}{{x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{\sqrt {x + 8} - 2}}{{x - 2}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{c{\rm{osx}}}}$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} + 2x}}{{x - 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{\sin x}}{{2x}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 1} - 1}}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} - 1}}{{x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8} - 2}}{{x - 2}}$
    h $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{c{\rm{osx}}}}$

    Dạng 3: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{L}{0},\,\,\,L \ne 0$
    Phương pháp:
    Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
    - Quy tắc 1.
    - Quy tắc 2.

    Ví dụ 3:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 8}}{{x - 2}} = - \infty $
    Do: $\left\{ \begin{array}{l}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 8) = - 6\\
    \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0\\
    x - 2 > 0,\,\,\forall x > 2
    \end{array} \right.$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - \infty $
    Do: $\left\{ \begin{array}{l}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 8) = - 6\\
    \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(x - 2)^2} = 0\\
    {\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\,\,\forall x\ne 2
    \end{array} \right.$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{{x^2}}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{c{\rm{os}}x}}{{2{x^2} + 1}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{{{\left( {{x^4} + x - 2} \right)}^2}}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} + \sqrt {3x - 2} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{c{\rm{os}}x}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}}}$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1} + 2x}}{{x - 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x}}{{\sin x}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{{x^4} + 2x - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} + x - 1} + 1}}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1}}{{x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {x + 6} + 2}}{{x - 2}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} + \sqrt {3x - 2} }}{{2 - x}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{c{\rm{osx}}}}{{\rm{x}}}$

    Dạng 4: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{0}{0}$

    Phương pháp:

    - Nhóm nhân tử chung: $x - {x_0}$.
    - Nhân thêm lượng liên hiệp.
    - Thêm, bớt số hạng vắng.
    a) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x),\,\, Q(x)$ là các đa thức và $P(x_0) = Q(x_0) = 0$.
    Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

    Ví dụ 4:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{12}}{4} = 3$
    b) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x),\,\, Q(x)$ là các biểu thức chứa căn cùng bậc.
    Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

    Ví dụ 5:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \frac{1}{4}$
    b) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x)$ là biểu thức chứa căn không đồng bậc.
    Giả sử: $P(x) = \sqrt[m]{{u(x)}} - \sqrt[n]{{v(x)}}\,\,\text{với}\,\,\sqrt[m]{{u({x_0})}} = \sqrt[n]{{v({x_0})}} = a$.
    Ta phân tích $P(x) = \left( {\sqrt[m]{{u(x)}} - a} \right) + \left( {a - \sqrt[n]{{v(x)}}} \right)$.

    Ví dụ 6:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x} + \frac{{1 - \sqrt {1 - x} }}{x}} \right)$
    $=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(x + 1)}^2} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1}}}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - x} }}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$

    Bài tập 3:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{{x^2} - 4}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{\sqrt {x + 7} - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16} - 4}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9} + \sqrt {x + 16} - 7}}{x}$

    Bài tập 4:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{{x^2} - 4}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{\sqrt {x + 7} - 3}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 2} - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16} - 4}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + x} - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 3)}^ - }} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9} + \sqrt {x + 16} - 7}}{x}$

    Bài tập 5:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x} - 1}}{x}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$

    Bài tập 6:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}} - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x} - 1}}{x}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$

    Dạng 5: $P({x_0}).Q({x_0}) = 0.\infty $ ($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P(x).Q(x)$)

    Phương pháp:
    Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

    Ví dụ 5:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x - 3)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 9}}} $
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (x - 4)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 16}}} $
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 1)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} $
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } (x - \sqrt 2 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 2}}} $
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } (x - \sqrt 3 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 3}}} $
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (x - 5)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 25}}} $

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x - 3)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 9}}} $
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (x - 4)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 16}}} $
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x - 1)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} $
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ - }} (x - \sqrt 2 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 2}}} $
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^ + }} (x - \sqrt 3 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 3}}} $
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} (x - 5)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 25}}} $

    Dạng 6: $P({x_0}) - Q({x_0}) = \infty - \infty $ ($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {P(x) - Q(x)} \right)$)

    Phương pháp:
    Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

    Ví dụ 6:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 1}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{1}{{ - 1 - x}} = - \frac{1}{2}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{x - 1}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{1}{{ - 1 - x}} = - \frac{1}{2}$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\,\left( {\frac{1}{{2 - x}} - \frac{4}{{4 - {x^2}}}} \right)$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\,\left( {\frac{1}{{3 - x}} - \frac{6}{{9 - {x^2}}}} \right)$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \,\,\,\left( {\frac{1}{{4 - x}} - \frac{8}{{16 - {x^2}}}} \right)$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \,\,\,\left( {\frac{1}{{5 - x}} - \frac{{10}}{{25 - {x^2}}}} \right)$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right)$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{2 - x}} - \frac{4}{{4 - {x^2}}}} \right)$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{3 - x}} - \frac{6}{{9 - {x^2}}}} \right)$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{4 - x}} - \frac{8}{{16 - {x^2}}}} \right)$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{5 - x}} - \frac{{10}}{{25 - {x^2}}}} \right)$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right)$

    Vấn đề 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$.
    Dạng 1: $\frac{\infty }{\infty }$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } p(x) = \pm \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } Q(x) = \pm \infty $.


    Phương pháp:

    - Nếu $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$.
    - Nếu $P(x)$, $Q(x)$ có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$ hoặc nhân lượng liên hợp.

    Chú ý:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \left\{ \begin{array}{l}
    k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, = \,\text{bậc của} (Q(x))\\
    0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, < \,\text{bậc của} (Q(x))\,\\
    \pm \infty \,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, > \,\text{bậc của} (Q(x))
    \end{array} \right.$

    Ví dụ 1:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
    c)$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}} = - \frac{2}{3}$
    d)$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1}} = 2$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,\frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 2}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,\frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} + 2 - x}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x} + 2x}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,\frac{{x\sqrt x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{(2x - 1)\sqrt {{x^2} - 3} }}{{x - 5{x^2}}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{2\left| x \right| + 1}}$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\,\frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}}$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\,\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 2}}$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\,\frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} + 2 - x}}$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x} + 2x}}$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\,\frac{{x\sqrt x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
    g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{(2x - 1)\sqrt {{x^2} - 3} }}{{x - 5{x^2}}}$
    h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}}$
    i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{2\left| x \right| + 1}}$

    Dạng 2: $\infty - \infty $ ( $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {P(x) - Q(x)} \right)$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } P(x) = \pm \infty, \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } Q(x) = \pm \infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)

    Phương pháp:
    Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.

    Ví dụ 2:

    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {1 + x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {1 + x} + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + x} + \sqrt x }} = 0$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + {x^2}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}}} \right)}^2} - x\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}} + {x^2}}}$
    $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}} + 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} - 1}} + 1}} = \frac{1}{3}$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right)$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\left( {2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x - 3} } \right)$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt[3]{{{x^3} - 1}}} \right)$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,\,\left( {\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } } - \sqrt x } \right)$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} - 1}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 5} + x} \right)$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\left( {2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x + 2} } \right)$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt[3]{{{x^3} - 2{x^2} - 1}}} \right)$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^4} + {x^2} + 10} + {x^2}} \right)$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} - 1}} + \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)$

    Dạng 3: $0.\infty$. ($\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {P(x).Q(x)} \right)$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } P(x) = 0, \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } Q(x) = \pm \infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)

    Phương pháp:
    Tổng hợp các phương pháp trên.
    Ví dụ 3:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2} + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2} + {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$
    $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} = + \infty $
    Do: $\left\{ \begin{array}{l}
    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}} = - 1\\
    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 0\\
    \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} < 0,\,\forall x < 0
    \end{array} \right.$

    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^4} + 1}}} \right)$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2} + 1}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^4} + 2} + {x^2}}}{{{x^3} + 1}}} \right)$

    Bài tập 2:
    Tìm các giới hạn sau:
    a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)$
    b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^4} + 1}}} \right)$
    c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
    d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
    e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2} + 1}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
    f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {4{x^4} + 2} + {x^2}}}{{{x^3} + 1}}} \right)$

    Vấn đề 3: Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm.


    Phương pháp:

    - $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$.
    - Sử dụng các cách tính giới hạn của hàm số.

    Ví dụ 1:
    Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
    $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\,\, & khi\,\,x > 0\\
    \frac{1}{2}\,\,\, & khi\,\,x \le \,\,0
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$

    Hướng dẫn giải:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}$
    Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \frac{1}{2}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$

    Ví dụ 2:
    Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
    $f(x)\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{l}
    \frac{3x+3}{x+2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x<1\\
    mx+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x \ge 1
    \end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,x=1$

    Hướng dẫn giải:

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{3x + 3}}{{x + 2}}} \right) = 2$
    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2$
    Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ nên $m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0$
    Bài tập vận dụng:

    Bài tập 1:
    Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
    a) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{\sqrt {1 + x} - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}\,\, & \text{nếu}\,\,x > 0\\
    \frac{3}{2}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x \le \,\,0
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
    b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}\,\, & \text{nếu}\,\,x < 3\\
    1 - x\,\,\,\,\,\, & \text{nếu}\,\,x \ge 3
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 3$
    c) $f(x)\,\,\, = \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} - 2x}}{{8 - {x^3}}}\,\, & \text{nếu}\,\,x > 2\\
    \frac{{{x^4} - 16}}{{x - 2}}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x < 2
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
    d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} & \text{nếu}\,\,x > 1\\
    - \frac{x}{2} & \text{nếu}\,\,x \le 1
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$

    Bài tập 2:
    Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
    a) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x < 1\\
    mx + 2\,\, & \text{nếu}\,\,x \ge 1
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
    b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x > 1\\
    {m^2}{x^2} - 3mx + 3\,\,\,\text{nếu}\,\,x \le 1
    \end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
    c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
    x + m & & khi\,\,x < 0\\
    \frac{{{x^2} + 100x + 3}}{{x + 3}} & khi\,\,x \ge 0
    \end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
    d) $\left\{ \begin{array}{l}
    x + 3m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x < - 1\\
    {x^2} + x + m + 3\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x \ge - 1
    \end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,\,x = - 1$