Đề thi chọn đội tuyển VMO tỉnh Hà Tĩnh năm 2016

  1. Chia sẻ trang này

    Tác giả: Mai Xuân Việt
    Đăng lúc: 1/11/17

    Bài 1. (5 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$ xét hàm số $f_n$ trên $\mathbb{R}$ được xác định bởi $f_n(x)=x^{2n}+x^{2n-1}+...+x^2+x+1$
    a) Chứng minh hàm số $f_n$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm duy nhất.
    b) Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số $f_n$ là $s_n$. Chứng minh dãy số $(s_n)$ có giới hạn hữu hạn.

    Bài 2. (5 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$ dương và thỏa mãn $a^5+b^5+c^5=3$.
    Chứng minh rằng $a^6b^6+b^6c^6+c^6a^6\leq 3$.

    Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(C)$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $O$ là tâm đường tròn $(C)$; $A',\ B',\ C'$ theo thứ tự là chân các đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $A_1,\ B_1,\ C_1$ là các điểm trên $(C)$ sao cho $AA_1\parallel BC$, $BB_1\parallel AC$, $CC_1\parallel AB$; $A'_1,\ B'_1,\ C'_1$ là các điểm trên $(C)$ sao cho $A_1A'_1\parallel AA',\ B_1B'_1\parallel BB',\ C_1C'_1\parallel CC'$
    a) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OA_1A'_1;\ OB_1B'_1;\ OC_1C'_1$ cùng đi qua điểm $K$ (khác điểm $O$).
    b) Chứng minh $OK.OH=\frac{abc}{p}$ trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$ và $p$ là chu vi tam giác $A_1B_1C_1$

    Bài 4. (5 điểm) Cho tập $S=\left\{1,2,3,...,2016\right\}$. Hỏi có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,...,a_{2016})$ của tập $S$ sao cho $2(a_1+a_2+a_3+...+a_k)\ \vdots\ k$ với $\forall k=0,1,2,...,2016$

    Bài 5. (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn: $x^{19}-1=(x-1)(y^{12}-1)$

    Bài 6. (5 điểm) Cho các đa thức $P(x),Q(x),R(x)$ với hệ số thực có bậc tương ứng là $3,2,3$ thỏa mãn đẳng thức $P^2(x)+Q^2(x)=R^2(x),\ \forall x\in \mathbb{R}$. Hỏi đa thức $T(x)=P(x).Q(x).R(x)$ có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả nghiệm bội).

    Bài 7. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ và $E$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $D$ là giao điểm của $AE$ và $BC$; $P,\ Q$ lần lượt là 2 điểm di động trên đoạn $AD$ sao cho $\widehat{ABQ}=\widehat{DBP}$ và $Q$ nằm giữa $A,\ P$. Lấy điểm $S$ sao cho $QS\parallel AO$ và $DS\perp AO$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AE$, $R$ là hình chiếu vuông góc của $Q$ lên $BC$
    a) Chứng minh $\frac{MN}{MR}=\frac{2ME}{QE}$
    b) Chứng minh đường thẳng qua $P$ vuông góc $SM$ đi qua một điểm cố định khi $P,Q$ thay đổi.

    Bài 8. (5 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$, tô màu các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ (mỗi số tô một màu). Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để với mọi cách tô màu, đều tồn tại ba số được tô cùng màu và ba số đó lập thành một cấp số cộng.